事業(yè)單位職業(yè)能力傾向測驗：完全平方數的約數

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約數倍數問題是數量關系模塊中一類非常重要的題型，而完全平方數的約數個數又是約數倍數問題里面經常會考到的一個知識點，今天華圖教育帶大家一起來認識一下平方數的約數。

判斷一個數的約數個數時，我們往往先將這個數進行質因數分解，然后把各個質因數的冪次數字分別加1，最后再相乘，得到的數字就是這個數的約數個數。其中最小的約數是1，最大的約數是這個數字本身。例如：，那么120的約數個數一共有（3+1）X（1+1）X（1+1）=16(個)。

在實際做題過程中，有一類題型考察的本質往往是讓我們判斷一個數的約數個數是奇數還是偶數，根據上述規(guī)律可知，想讓一個數的約數個數是奇數，那么對其進行質因數分解后其所有質因數的指數應該都是偶數(因為一旦有一個指數是奇數，加1之后就是偶數，最后乘出來的總約數個數必然是偶數)，而滿足此條件的數只能是完全平方數。因此我們可以總結規(guī)律：若一個數的約數個數是奇數，那么這個數一定是完全平方數。

一、例題精講

【例1】設有編號為1、2、3…10的10張背面向上的紙牌，現(xiàn)有10名游戲者，第1名游戲者將所有編號是1的倍數的紙牌翻成另一面向上的狀態(tài)，接著第2名游戲者將所有編號是2的倍數的紙牌翻成另一面向上的狀態(tài)，……，第n名(n≤10)游戲者，將所有編號是n的倍數的紙牌翻成另一面向上的狀態(tài)，如此下去，當第10名游戲者翻完紙牌后，那些紙牌正面向上的最大編號與最小編號的差是( )。

A. 2

B. 4

C. 6

D. 8

【答案】D

【解析】首先我們根據題目中所說的翻牌規(guī)律確定一下紙牌被翻的次數由什么決定：

比如編號為6這張紙牌在這個過程中會被第1名，第2名，第3名，第6名，各翻1次，一共被翻了4次，而1、2、3、6正好是6的4個約數，因此我們知道紙牌被翻的次數等于其編號的約數個數。剛開始紙牌都是背面朝上，而題目問題是最終正面朝上的紙牌最大編號與最小編號差，故最終想讓紙牌正面朝上，這張紙牌在整個過程中應該被翻了奇數次，即這張紙牌的編號的約數個數應該是奇數。一個數的約數個數是奇數，那么這個數一定是完全平方數，1~10之間只有1、4、9這3個數字是完全平方數，那么最大和最小的編號之差為9-1=8，故選D。

【例2】編號為1—50的選手參加一個爬樓比賽，樓高為60層，所有選手在第1層均獲得一個特別的號牌，此后每經過一個樓層，如果選手的編號正好是樓層數的整數倍，就將得到一個特別的號牌，所有選手都到達終點后，正好持有3個特別號牌的選手有多少人?

A. 1

B. 4

C. 7

D. 10

【答案】B

【解析】首先我們根據題目中的規(guī)律來探索一下選手最終持有的的特別號牌數量與選手編號的關系：例如編號為8的選手會在第1層，第2層，第4層，第8層各獲得一個特別號牌，共獲得4個特別號牌。而1、2、4、8正是編號8的4個約數，因此我們知道選手最終獲得特別號牌的個數就是其本身編號的約數個數。題目中說正好持有3個特別號牌，說明選手的編號一共有3個約數。3為奇數，說明選手編號一定是完全平方數，即編號可以表示為a2這樣的形勢，而只有當a為質數的時候才能保證恰好有3個約數，在1-50中，滿足條件的有22、32、52、72，一共4個，所以選B。

總之，一個數的約數個數若為奇數個，那么這個數必是完全平方數，牢牢把握這一規(guī)律，我們才能在較短的時間內選出正確的答案。

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